Cohomology Ring

定义 Definition

cohomology ring（上同调环）：代数拓扑中的一个结构，把空间的上同调群 (H^*(X)) 通过杯积（cup product）组合成一个分次环（graded ring），用来同时记录“有多少上同调类”以及它们如何相乘、如何相互作用。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌkoʊhəˈmɒlədʒi rɪŋ/

例句 Examples

The cohomology ring of a sphere is very simple.
球面的上同调环非常简单。

By computing the cohomology ring, we can distinguish spaces that have the same homology groups but different multiplication structures.
通过计算上同调环，我们可以区分那些同调群相同、但乘法结构不同的空间。

词源 Etymology

cohomology 来自 co-（对应的、对偶的） + homology（同调），表示与同调理论“对偶/对应”的理论框架；ring（环）是代数学术语，指带有加法与乘法且满足一定公理的结构。合在一起，“cohomology ring”强调：上同调不仅是群，还能通过杯积形成环结构（常见为分次交换环）。

相关词 Related Words

• Cohomology
• Homology
• Cup Product
• Graded Ring
• Cohomology Group
• Differential Forms
• De Rham Cohomology
• Spectral Sequence
• Characteristic Class

文献与作品 Literary / Notable Works

• Algebraic Topology — Allen Hatcher（常用上同调环与杯积来做空间计算与区分）
• Differential Forms in Algebraic Topology — Raoul Bott & Loring W. Tu（以微分形式与上同调环为核心工具）
• Characteristic Classes — John Milnor & James D. Stasheff（大量使用上同调环描述特征类）
• Topology and Geometry — Glen E. Bredon（上同调环在几何与拓扑联系中反复出现）
• A User’s Guide to Spectral Sequences — John McCleary（用谱序列计算上同调群与上同调环结构）